虚数時間の物理学、番外編: 電流の作る磁場

前回のこのブログでは、電磁場の4元ベクトル表示についてご説明いたしました。まあ、これ、別に虚数時間でなくても成立する話なのでして、本日のお話も、時間が実数であろうと虚数であろうと成立する話である、ということを事前にお断りしておきます。

まず、前回、ベクトルポテンシャルAというものを定義いたしまして、その時間成分が電気的ポテンシャル、つまり、∇φ = E(静電界の場合)で、空間成分が∇×A = B、として電場と磁場が与えられる、というお話をいたしました。

本日は、この部分を、もう少し突っ込んでみたいと思います。つまり、移動する電荷が、何故に磁場を生じるのか、という謎に迫ろう、というわけですね。

まず、単位長さあたりqの電荷を持つ直線状の物体がx方向に延びている状況を考えます。まあ、電線がx方向に延びているわけですね。

で、これが作ります電場は、電線からrだけ離れたところでは
(1) Er = q / (2πrε0)
で与えられます。

そうなりますと、電場は電位(スカラーポテンシャル)の勾配で与えられますので、電線からrだけ離れたところの電場は、これを積分することで与えられ、次式のようになります。
(2) φ = (q / (2πε0)) ln r
ま、ここで、無限遠の位置でのポテンシャルはゼロだから、、、などとの突っ込みは、なし、ということにしておきましょう。

さて、実はこれが速度vで移動していると考えましょう。移動している座標系から見れば、電場しか存在しないわけです。しかし、静止している座標系からみる場合は、速度-vで移動している座標系に、このポテンシャル場を座標変換しないといけません。

速度vで移動している座標系から見たベクトルポテンシャルは(0,0,0,φ)です。これを静止座標系からみると、そのx成分は
(3) Ax = vx φ/√(1 + v^2)
となります。これに(2)式を代入して、後々の為にr方向の微係数を求めますと、次のようになります。
(4) ∂Ax/∂r = q vx / (2πrε0√(1 + v^2))

さて、磁場B = rot Aなる関係がありました。rotという演算は、渦の強さを求める演算で、ベクトル場をある点の周囲に沿って積分した値をその積分経路が囲む面積で割った値の、その面積をゼロにしたときの極限値、に相当します。

まあ、極限値ですとなかなか想像しにくいので、電流の流れる線からrだけ離れた領域の、Δx、Δrの幅で囲まれる長方形部分での積分を求めてみます。そうすると、rの異なる辺の部分だけが積分に寄与し、結局これは、
(5) (Ax + (∂Ax/∂r)(Δr / 2)) Δx - (Ax - (∂Ax/∂r)(Δr / 2)) Δx
= (∂Ax/∂r)ΔrΔx
となります。

で、(4)式を参照しますと、この極限値は次式で与えられ、これが電流q vxの流れる線からrだけ離れた地点での磁場、ということになります。
(6) Bn = q vx / (2πrε0√(1 + v^2))
もちろんこれは、電流 j = q vx の作る磁場の式と、vの絶対値が小さい場合は一致し、まずは、めでたしめでたし、というわけですね。

磁場が生じる原因は、私は、上に示しましたように、4元電磁ポテンシャルの座標変換によるもの、と説明するのがもっとも理解しやすいのではないかと思っております。

でも、物理学の教科書を読みますと、荷電した物体の移動に伴う伸び縮みで説明する記述が多いのですね。

まあ、確かにそのような説明も、嘘ではありません。でも、空間の伸び縮み、というのは、実は見かけ上の効果でして、実際の(と、見てきたようなことをいいますが)4次元空間は伸びもしなければ縮みもしません。

まあ、ここでいたしましたような説明が、磁場の発生原因として、おそらくは、もっとも妥当な説明ではないかと、私は、思っております。


虚数時間の物理学、まとめはこちらです。

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