虚数時間の物理学:補足

実は、、、近所の新星堂をのぞいたら、涼宮ハルヒの憂鬱 Vol. 1Vol. 3があるではありませんか。Vol. 3は最近出たはずですが、Vol. 1は初回限定版ではない様子。これも最近重版したのでしょうかね。それにしても、某地方都市のアニメイトにない奴が、近所の新星堂に置いてあるとは、、、ちなみに、新星堂にはVol. 2も置いてありました。ハルヒ、まだ鑑賞していない人は、ご近所の新星堂に走ろう!!って、どこにもあるとは限りませんが、、、

まあ、そんな事情がありまして、本日は夜更かしすることになりそうで、まあ、早い話、明日の相場を読むは、多分、書いてはいられない状況となるのではないか、と危惧している次第です。

以上、先手を打っての、言い訳でした。


過去ログ回顧を機会に、過去の記事を読み返して、ちょっと気がつきました。虚数時間の物理学、あまり完全なものではありません。そこで本日は、少々気になるところを補足するとともに、その後気付きました小ネタにつき、簡単に述べることといたしましょう。

まず、速度vで運動する電荷qに加わる電磁気力Fは、次式で与えられます。

(1)   F = q(E + v×B)

この式に、速度vが入っていることから、等速運動する座標系から見るとこの式は変形を受けざるを得ず、EBが、単一の、何らかの4元ベクトルから構成される量でなければならない、ということになりまして、答を先に書いてしまえば、(磁気)ベクトルポテンシャルと(電気)スカラーポテンシャルからなる4元ベクトルの渦として与えられる、というお話をいたしました。

まあこれ、話としてはすっきりしているのですが、なぜそうなるか、というところに踏み込みますと、結局は3次元空間から見て、移動する座標系上の長さが伸び縮する、ということから説明しないといけないのかもしれません。このあたりは、もう少し、すっきりした説明を考えたいところです。

さて、ファインマン物理学(4)では、この式を4元ベクトルポテンシャルで書き直し、運動する電荷に作用する電磁気力と運動方程式を導いております。

x成分に対する式は

(2)   fx = q(E + v×B)_x / √(1 - v^2 / c^2)
= q(Ex + vy Bz - vz By) / √(1 - v^2 / c^2)

これを4元力fを4元ポテンシャルの渦Fμνを用いまして、以下のように求めております。

(3)   fμ = q uν Fμν

これは、テンソル表示で、左変に現れる添え字μは注目している成分(x, y, z, tのどれか)、右辺のみに現れる添え字νは、これをx, y, z, tとしたものを加え合わせる、という約束になっております。

さて、虚数時間の物理学は、テンソル表示というややこしいものを省略できたのが利点なのですが、ここまで来ますと少々ややこしくなります。

これまでの書き方でx成分の力を書きますと、

(4)   fx = q (ux rotXX + uy rotXY + uz rotXZ + ut rotXT) A

となりまして、これをまとめるにはテンソルと似たような、記法の約束が必要になってしまいます。

まあ、ファインマン氏も、表現を簡素にすることにさほどの理由はない、と書いておりますし、テンソルを使わずにここまで頑張れたことを良し、といたしましょうか。


虚数時間の物理学ですが、量子力学はどうなるだろうか、という興味もありまして、量子力学の考え方などを読んでおりますと、なるほど、そもそも波動関数4元ベクトル表示を使う誘惑に満ち満ちております。

波動関数Φは、波数ベクトルkと周波数ωにより次式で表わされます。

(5)   φ = a exp(i(kr - ω t))

これは、波数ベクトルkにωを含め、位置rにも時刻tを含めて4元ベクトル表示とすれば、以下の形に簡略化されます。

(5')   φ = a exp(i(kr))

さらに、ド・ブロイの関係式によりますと、波数と周波数は運動量pとエネルギーEで次式のように表わされます。(ここでhはπで割った奴です)

(6)   p = h k, E = h ω

運動量pの時間成分としてエネルギーEを加えたものが4元運動量ですから、これを用いて(5')を書き直しますと次のようになります。

(7)   φ = a exp((pr) / h)

ここで、時間が虚数的に振舞う、との原理を受け入れますと、運動量と時間は虚数ですので、(7)式の虚数単位も消えます。

あとは、エネルギーをp~2/(2m)とおいてそれぞれの次元で(7)式を微分すると波動方程式が得られ、これを解いて波動関数を求める、という手続きになるのですが、ここでは省略しておきましょう。

いずれにせよ、時間は虚数的に振舞う、との前提を受け入れますと、量子力学にも多少の恩恵をもたらすだろう、ということは言えそうです。


虚数時間の物理学、まとめはこちらです。